叠加定理

介绍

在分析由两个或两个以上独立源(电压或电流或两者)组成的线性电路时，叠加定理被极其广泛地应用(特别是对于具有不同频率元件的时域电路)。如果一个线性直流电路有多个独立的电源，我们可以用节点或网格分析法找到电流(通过电阻)和电压(通过电阻)。

或者，我们可以使用对要确定的变量的值增加每个单独的源影响的叠加定理。这意味着SuperPosition Theorem将每个源分别考虑给定电路中的每个源，以便找到变量的值（是否电流或电压），最后通过添加由每个源效应引起的所有变量来产生所得变量。即使它是复杂的过程，但仍然可以应用于任何线性电路。

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叠加定理的声明

叠加定理指出，在任何由两个或多个独立源组成的线性双边网络中，元件上的电流(或电压)是元件上各独立电源所产生的电流(电压)的代数和，所有其他电源单独作用，并被它们的内阻所取代。我们知道，只要源和贡献之间存在线性关系，同时作用的各种源的总贡献等于一次作用的单个源的单个贡献的代数和。

因此，如果电路由N个独立源组成，则我们必须分析N个电路，每个电路都会产生关于每个单独源的结果。最后，必须添加这些个体结果以获得对电路的整体分析。因此，这需要更多的工作，但是，本定理将非常有用地分析复杂电路的各个部分。

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分析叠加定理的步骤

1.考虑给定电路中的各种独立源。

2.选择并保留其中一个独立电源，用其内阻替代所有其他电源，或者用开路替代电流源，用短路替代电压源。

3.为了避免混淆，请适当地重新标记电压和电流符号。

4.通过使用各种电路降低技术单独作用，找出所需的电压/电流。

5.对于给定电路中的每个独立源重复步骤2至4。

6.代数添加从每个单独源获得的所有电压/电流（在添加时考虑电压符号和电流方向）。

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例子:

1.让我们考虑下面简单的直流电路来应用叠加定理，这样我们将得到跨越电阻10欧姆(负载终端)的电压。考虑在给定电路中有两个独立的电压源和电流源，如图所示。

首先，我们在一段时间内保留一个源，即在电路中只采用电压源，电流源被内阻（无限）替换，因此如图所示。

考虑V._L1是负载端子的电压，带电压源单独作用，然后

V._L1= vs×r_L./（r._L.+ R₁）

= 20×10 /（10 + 20）

= 6. 66伏特

3.仅保留电流源，用电压源的内阻(零)替换电压源，使其如图所示发生短路。

考虑到V_L2是当电流源单独作用时负载端子的电压。然后
V._L2=我_L.×R_L.

一世_L.= i×r₁/（r.₁+ R_L.）

= 1 × 20 / (20 +30)
= 0.4安培

V._L2= 0.4×10

= 4伏

因此，根据叠加定理，负载上的电压是V的总和_L1和V_L2

V._L.= V_L1+ V_L2

= 6.66 + 4

= 10.66伏特

示例2:

考虑下面的电路，我们将使用叠加定理来确定通过4欧姆电阻的电流I。

假设I1、I2、I3分别为12v、20V、4A源产生的电流。然后，基于叠加定理I = I1 + I2 + I3。我们来确定每个源的电流。

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只有12V电压源：

考虑以下电路，其中仅在电路中保留12V源，其他源被其内部电阻替换。

将6欧姆和10欧姆的电阻结合，得到与6欧姆并联的16欧姆的电阻。由此得到，16 × 6 /(16 + 6) = 4.36欧姆。因此等效电路如图所示。

然后通过4欧姆电阻的电流，

一世₁= 12/8.36

= 1.43 A.

只有20 V电压源：

仅保留20 V电压源并更换其内阻的其他源，然后电路变为如下所示。

对回路a进行网格分析，得到

我22 ia - 6_B.+ 20 = 0

我22 ia - 6_B.= -20 ..................（1）

对于循环b，我们得到

10._B.- 6Ia = 0

ia = 10i._B./ 6

在等式1中取代IB

22（10I._B./ 6） - 6i_B.= -20

一世_B.= - 0.65

因此，我₂= IB = -0.65

只有4A电流源

考虑下面的电路，其中仅保留电流源，并以其内部电阻替换其他源。

在节点2处应用节点分析得到:

4 =（v₂/ 10) + (V₂- - - - - - V₁）/ 6 ..................（2）

在Node1，

(V₁/ 6) + (V₁/ 4) = (V₂- - - - - - V₁) / 6

V.₂= 3.496 V.₁

从等式2中取代V2，我们得到

V.₁= 0.766伏特。

因此我_3.= V₁/ 4

= 0.766 / 4

= 0.19安培。

因此，根据叠加定理，我= i₁+我₂+我_3.

= 1.43 - 0.65 + 0.19

= 0.97安培。

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使用交流电路的叠加例子:

考虑下面的交流电路，我们将使用叠加定理来确定4欧姆电阻中的电流值。

情况1：只有20˚0电压源

通过将电压源保持在电路中，通过电路的电流被确定为

I1 =20˚0/（4 + J4）

= 20∠0 /(5.65∠45)

= 3.53∠- 45或2.49∠- 2.49 A

案例2:只有4∠90电流源

通过将电流源保持在电路中，通过电路的电流I2确定为

通过当前分裂方法，I2 =4∠90×4J /（4 + J4）

= 4∠90 × 4∠90(5.5∠45)

=490×0.70745

= 2.828∠135或-1.99 + j1.99 A

通过电阻器4欧姆的所得到的电流是i = I1 + I2

=3.53∠-45 +2.828∠135

∠45 = 0.56 + j0.56 A

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叠加定理的局限性

1.对于电力计算，叠加定理不能根据线性度使用。因为功率方程不是线性的，因为它是电压的电压和电流或平方的乘积或电压的正方形。因此，不可能使用具有叠加定理的给定电路中的元件所消耗的功率。

2.如果负载的选择是可变的或负载电阻经常变化，则需要执行电流或电压的每个源贡献，以及对负载电阻的各种变化的每个源贡献。因此，对分析复杂电路的这种方式非常复杂的过程。

3.这个定理只适用于线性电路，而对于非线性电路(有晶体管和二极管)则不能适用。

4.仅当电路具有多个源时，才适用此定理。

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