复数

数学上，复数是实数和虚数的组合。相量用复数平面上的复数表示。

这个复数表示给出了正弦波的幅值和相位，用它我们可以分析电路的特性。正弦波形是时间的函数，在时域内表示。

通常用相量变换法求解将时间t的函数变换为弧度频率w的函数的波形相关方程。

频域方程是一种代数方程，它比时域方程更容易求解，时域方程是偏微分方程。

因此，复数表示便于求解未知相量的代数方程。让我们讨论复数及其运算技巧。

复数

虚数是负实数的平方根。虚数由虚单位或j算子组成，j算子是√-1的符号。这个j算子用来化简虚数。√- 4可以简化为√-1 ×√4 = j√4 = j2。

复数的操作比实数复杂，这就是为什么它们被命名为复数。复数由两部分组成，即实部和虚部，它们由正号或负号连接，如下所示。

例子:

复数的虚部称为“虚数”。我们用英文字母“i”(小写)或j来表示它。我们把它发音为“i- operator”。i运算符放在虚数前面表示虚数部分。例如:i3, i432, i6等。

复数用二维笛卡尔平面表示。这也叫“S位面”。这些轴被称为“水平轴”和“垂直轴”。纵轴又称“实轴”，用y表示，表示正弦波的幅值或电压范围。

同样，水平轴被称为“虚轴”。用x表示，它表示正弦波的周期和相位差。用图示法将复数的实轴和虚轴分别表示为Re(Z)和Im(Z)，其中Z为复数的矩形形式，Z = a + ib。

在这里，复数的实部也称为“活性部”，虚部称为“活性部”。

复数的数学运算规则

• 对于加减法:在虚数的加减法运算中，我们使用一般的数学规则作为实数，即两个虚数的加减法得到另一个虚数。例:i9 + i5 = i14。
• 对于乘法:虚数的乘法遵循不同的规则。也就是说，如果任意两个虚数相乘，我们得到一个实数。例:i2 * i3 = 6。

注:取虚数部系数为0，也可将实数写成复数。

例:6可以写成复数6 + i0。

i-算子的向量旋转

通常，电压和电流及其相位关系用电矢量表示，其中矢量的长度表示所涉及的量的大小，而相对于参考轴的方向表示电压和电流的正最大值之间的时间间隔。

为了用x和y分量来表示这些向量，用i算子来区分x轴和y轴的投影。

这是因为y轴投影是+90⁰从x轴投影。这个i算子旋转这个向量而不改变它的大小。因此，当用+i算子作为一个向量的乘因子时，它得到90⁰逆时针旋转和-i运算符产生90⁰顺时针旋转的任何矢量，它被应用为乘因子。

将+i算子连续乘以一个向量将得到连续的90⁰矢量逆时针方向旋转的步长，而不影响矢量的大小。

类似地，将-i运算符连续乘以一个向量将得到连续的90⁰矢量按顺时针方向旋转的步骤如下所示。

I1 =√-1 = +i»旋转向量90⁰(逆时针方向)

I2 = I * I =(√-1)2 = -1»旋转向量180⁰(逆时针方向)

I3 = i2 * I =(√-1)3 = -i»旋转向量270⁰(逆时针方向)

I4 = i3 * I =(√-1)4 = +1 *旋转向量360⁰(逆时针方向)

类似地，顺时针旋转表示为

-i1 = -√-1 = -i»旋转向量-90⁰(顺时针)

-i2 = -1»旋转向量-180⁰(顺时针)

- (i) 3 =√-1»旋转向量-270⁰(顺时针)

- (i) 4 = 1»旋转向量-360⁰(顺时针)

复数表示法

大多数情况下，复数用两种方法表示，它们是

1. 笛卡尔或矩形形式
2. 利用S -平面

使用矩形形式的复数

如前所述，复数表示为Z = a + ib的矩形形式。

其中，Z是复数

A是向量的实部

B是向量的虚部

I是虚部的系数。取值为√-1。

例:如果Z = 2 + i3，那么' 2 '表示实部，' 3 '表示虚部。

复数使用复数或s平面

在S平面表示法中，复数用笛卡尔平面或S平面中的一个点表示。例如，考虑Z = 2 + 4i，其中2为实部，4为虚部。它表示为S平面，如下图所示。

在这里，复数(2)的实部用一条从原点向外2个单位的直线在正横轴上表示。虚数部分(4i)由一条从原点沿垂直正轴延伸4个单位的直线表示。

因此，通常假设虚值沿y轴或纵轴绘制，实值沿x轴或横轴绘制。

四象限阿根图

如果一个实数乘以-1，结果是将点从原点的一边移到另一边。假设+2乘以-1或j2，新的位置等价于旋转180度⁰从旧的位置。

这个乘以j作为矢量旋转的概念是在交流电路中使用复数的基础。这个概念引出了一个表示复数的阿根图。

在阿根图中，复数的实部表示在X轴上，即Re (z)，复数的虚部表示在Y轴上，即Im (z)，在笛卡尔平面中，复数定义为(a, b)。

在阿根图上，水平轴表示垂直虚轴右侧的所有正实数和垂直虚轴左侧的所有负实数。正虚数表示在原点上方，负虚数表示在原点下方，纵轴上。

同样，所有正实数表示在原点的右边，所有负实数表示在原点的左边，在横轴上。一个有4个坐标的复平面就形成了。

阿根图用来表示相量旋转，其中矢量的长度等于复数的大小。它每2π/ω秒完成一个完整的循环。

0⁰=±360⁰= + 1 = 1∠0⁰= 1 + i0

+ 90⁰= +√-1 = + I = 1∠+90⁰= 0 + i1

- 90⁰= -√-1 = - I = 1∠-90⁰= 0 - i1

±180⁰=(√-1)2 = -1 = 1∠±180⁰= - 1 + i0

实部为零的复数称为“纯虚数”。例:Z = 0 + i2。

虚部为零的复数称为“纯实数”。例:Z = 2 + i0。

角度和象限

0⁰到90年⁰→第一象限(I)。

90⁰到180年⁰→第二象限(II)。

180⁰到270年⁰→第三象限(III)。

270⁰到360年⁰→第四象限(IV)。

我们可以用求相关的复数相位角

Tan-1(虚分量÷实分量)

下面给出了所有4象限复数的阿根示意图。

象限	根图示意图	信息	公式
1		一个是正的 b是积极的 参数是积极的	Ø= tan－1(b / a)
2		一个是负的 b是积极的 参数是积极的	Ø=π+棕褐色－1(b / a)
3.		一个是负的 b是负的 论点是负的	Ø= -π+棕褐色－1(b / a)
4		一个是正的 b是积极的 论点是负的	Ø= tan－1(b / a)

复数的加减法

如果需要对复数进行加法或减法等数学运算，首先我们必须将复数分为实部和虚部。

对于两个复数的加法，实部相加和虚部相加。

如果第一个复数为P = a + ib，第二个复数为Q = x + iy，则两个复数的和为

P + Q = (a + x) + i (b + y)

P + Q = (a - x) + i (b - y)

同样，要减去两个复数，我们减去实部和虚部。
两个复数之差为

P + Q = (a - x) + i (b - y)

例子

求两个给定复数的和和差。A = 2 + i4和B = 4 +i3。

除了

P + Q = (2 + i4) + (4 + i3)

= (2 + 4) + I (4 + 3)

= 6 + i7

减法

P + Q = (2 + i4) - (4 + i3)

= (2 - 4) + I (4 - 3)

= -2 + i1

图形加减法

复数相加的方法与用向量的平行四边形对两个向量相加的方法相同。下图用图解法说明了3 + 4i和-4 + 2i复数的加法方法。

用图解法(-2 + 2i)减去(3 + 4i)如下图所示。

复数的乘法与除法

复数的乘法和二项式的乘法是一样的记住j2 = -1。
考虑两个复数(a+bi)和(c+di)，则其乘法式为

(a+bi) x (c+di) = a (c+di) +bi (c+di)

= ac + adi + bci + bd i2

= ac + adi + bci + bd (-1)

= ac + adi + bci - bd

= (ac - bd) + (ad I + BC I)

= (ac -bd) + (ad + bc) I

假设两个复数是(2 + 3i)和(4 + 5i)，那么它的乘法是

(2 + 3i) x (4 + 5i) = 2(4 + 5i) + 3i (4 + 5i)

= 8 + 10i + 12i + 15i2

= 8 + 22i + 15(-1)

= 8 + 22i -15

= -7 + 22 I

部门

复数的除法和二项式的除法一样，分母中含有根号。它涉及到求分母的共轭。

让我们看一个复数除法的例子。

例子

(4 + 2i) ÷ (3 - i)

(我)(4 + 2)/ ((3 - i)) = ((4 + 2)) / ((3 - i))×((3 + i)) / ((3 + i))

=(12 + 4我+ 6 + 2²) / (9 + 3 i-3i-i²）

= (12 + 10 + 2 (1)) / (9 - (1))

= (10 + 10) / 10

= (1 + 1) / 1

= 1 + I

因此(4 + 2i) ÷ (3 - i) = 1 + i。

复共轭

复数的复共轭除虚数部分的符号改变外，是相同的数。虚数的符号倒转得到的复数。

求共轭时实部符号不变。共轭复数用符号z*表示。

例如，Z = 4 + i5的共轭复数是Z * = 4 - i5

复数和它的共轭有相同的大小，它们在X轴上有相同的水平位置，但是它们在阿根图中的垂直位置完全相反。

关于共轭需要记住的事情

• 复数及其共轭的和总是实数(活性分量)。
  (4 + i5) + (4 - i5) = 8(实数)
• 复数及其共轭的相减总是虚数(反应分量)。
  (4 + i5) - (4 - i5) = 10i(虚数)
• 通常，用复共轭数来计算矩形形式的交流电路的视功率。

极坐标复数

复数可以用极坐标形式和矩形形式表示。如前所述，复数的矩形形式由实部和虚部组成。在极坐标形式中，复数用幅度和角度表示，即Z

一个∠±θ。这里A是矢量的模，θ是相位角。它可能是积极的，也可能是消极的。
复数的极坐标表示

用三角的基本概念和毕达哥拉斯定理来表示极坐标形式的复数，求出其大小和与轴的夹角。

复数x + iy在笛卡尔平面上的极坐标表示如图所示。这里r是三角形的合成向量或对角线，由复数组成。

通过应用毕达哥拉斯定理，我们得到

Z²= x2 + y2

Z =√(x2 + y2)

向量分量可以写成，x = zcos θ y = zsin θ。

与实轴的夹角为

θ= tan^－1y⁄x

极坐标表示复数的长度和角度。复数和它的共轭具有相同的模和相反的角。

例:复数5∠60⁰它的共轭数是5∠-60⁰具有相同的大小。

复数的转换

在分析电子电路时，需要把复数从一种形式转换成另一种形式。在矩形形式中，我们分别在实轴(水平轴)和虚轴(垂直轴)上表示复数的实部和虚部。

而在极坐标形式中，复数可以简单地表示为A∠θ。现在我们来学习极坐标形式和矩形形式的关系和转换，反之亦然。

极坐标到矩形的转换(P→R)

极坐标到矩形形式的转换涉及到寻找三角函数的水平和垂直分量，以便得到x + iy的实部和虚部(矩形形式)。

考虑下面的例子转换复数4∠30的极坐标形式⁰成矩形形式。
向量分量等于复数x + iy的实部和虚部。因此,

x = A cos θ y = A sin θ

让4∠30⁰= x + iy

4∠30⁰= (4cos θ) + I (4sin θ)

= 4cos30⁰+ I (4sin30⁰）

= (4 * 0.866) + I (4 * 0.5)

= 3.464 + i2

因此，极坐标形式的复数4∠30⁰等于Z = 3.464 + i2。

矩形到极坐标的转换(R→P)

直角到极坐标的转换涉及到毕达哥拉斯直角三角形定理的运用，直角三角形是由复数x + iy与水平轴和垂直轴在坐标平面上形成的。

考虑将复数的矩形形式3.464 + i2转换为极性形式的等效数字的例子。

Let (3.464 + i2) = A∠θ

这里A =√(3.46)²+ 2²= 3.99(约4)

和θ= tan⁽¹⁾2⁄3.46 = 30⁰

因此，矩形复数Z = 3.464 + i2等于4∠30⁰在极坐标形式。

极坐标形式的乘法

对复数进行加减运算最简单的方法是矩形形式，对复数进行乘除运算最简单的方法是极坐标形式。

要对极形复数进行乘法运算，首先将它们的大小相乘，然后将它们的角度相加。

若Z1和Z2为(极坐标形式)的两个复数，分别为Z1 = A1∠θ1, Z2 = A2∠θ2。那么这两个数的乘法就是

Z1 x Z2 = (A1 x A2)∠θ1 +∠θ2

假设两个复数2∠60⁰和5∠45⁰，则其乘式为

Z1 = 2∠60⁰Z2 = 5∠45⁰

Z1 x Z2 = (A1 x A2)∠θ1 +∠θ2

= (2 × 5)∠60⁰+ 45⁰。

= 105∠⁰

极坐标形式划分

要进行极数除法运算，首先将两个极数的大小相除，然后减去角度。

(z1)/ z2 = (a1 / a2)∠θ1 -∠θ2

设两个复数为2∠60⁰和4∠30⁰那么它的除法为

Z1 = 2∠60⁰Z2 = 4∠30⁰

(z1)/ z2 = (a1 / a2)∠θ1 -∠θ2

=(2 /4)∠60⁰——∠30⁰

= 0.5∠30⁰

使用指数形式的复数

复数除了用矩形(a + ib)或极坐标(a∠±θ)表示外，还有一种表示复数的方法，那就是指数形式。

这类似于极坐标表示，极坐标表示复数的大小和相位角，但以指数函数e为基数，其中e = 2.718 281。复数的指数形式使用欧拉公式e^我θ= cos θ + jsin θ。

指数形式的复数的一般表示形式为

Z = e⁰我θ

θ的弧度是多少

这种方法将复数表示为笛卡尔平面上的旋转点。这种指数形式使用三角函数或复数x + iy的向量分量(正弦和余弦)。根据欧拉恒等式得到的笛卡尔平面旋转相量图如下图所示。

我们可以用欧拉法表示任何复数。欧拉恒等式允许我们将复数从指数形式转化为极坐标形式并转化为矩形形式。

极坐标、矩形和指数坐标之间的关系如下。

Z = x + iy= A∠θ= A (cos θ+isinθ)