布尔逻辑- SOP形式，POS形式

布尔函数表示

像晶体管这样的开关设备的使用产生了布尔代数的一种特殊情况，称为开关代数。在交换代数中，所有的变量都假设0和1这两个值中的一个。

在布尔代数中，用0表示逻辑门的“开”状态或“假”状态。同理，用1表示逻辑门的“关闭”状态或“真”状态。

布尔表达式是由变量、常数(0-false和1-true)和逻辑运算符组成的表达式，逻辑运算符的结果为true或false。

布尔函数是布尔表达式的代数形式。一个包含n个变量的布尔函数用f(x1, x2, x3....xn)表示。利用布尔定律和定理，可以简化数字电路的布尔函数。下面将简要说明表示布尔函数的不同方法。

• Sum-of-Products (SOP)的形式
• Product-of-sums (POS)的形式
• 规范的形式

有两种标准形式:

• 最小和项或规范SOP
• 最大乘积术语或规范POS

布尔函数可以用NAND门表示，也可以用k映射(Karnaugh映射)法表示。我们可以用两种标准形式来规范布尔表达式。

SOP表-产品总数表

POS表-求和乘积表

布尔方程的标准化将使布尔方程的实现、演化和简化更加容易和系统化。

产品总表(SOP)

积和形式是简化逻辑门布尔表达式的一种方法(或形式)。在这种布尔函数表示的SOP形式中，变量由AND(乘积)运算形成乘积项，所有这些乘积项被or(和或加)合在一起得到最终的函数。

通过使用布尔加法操作将两个或多个乘积项相加(或相加)，可以形成乘积和表单。这里用AND运算定义乘积项，用OR运算定义和项。

积和形式又称析取范式，因为乘积项是OR的形式，析取运算是逻辑或的形式。产品和表也被称为标准SOP。

SOP形式表示最适合在FPGA(现场可编程门阵列)中使用。

例子

Ab + ABC + cde

(ab)̅+ ABC + CD e̅

SOP表格可以通过

• 为每个输入组合写一个AND项，产生高输出。
• 如果值为1，则写入输入变量，如果值为0，则写入变量的补。
• 或AND项，得到输出函数。

例:多数函数F = A ' bc + AB ' c + ABC ' + ABC的布尔表达式

真值表:

现在写出输入变量与高输出的组合。F = ab + BC + ac。

检查

根据幂等律，我们知道

([abc + abc) + abc = (abc + abc) = abc

函数F = A ' bc + AB ' c + ABC ' + ABC

= a ' bc + ab ' c + abc ' + ([abc + abc)] + abc)

= (abc + abc ') + (abc + ab ' c) + (abc + a ' bc)

= ab (c + c ') + a (b + b ') c + (a + a ') BC

= ab + BC + ac。

求和积(POS)表

和积形式是简化逻辑门布尔表达式的一种方法(或形式)。在这个POS表单中，所有的变量都是or，即写成和来形成求和项。

所有这些和项都被和(乘)在一起得到和的乘积形式。这个表格和SOP的表格完全相反。所以这也可以说是“SOP形式的对偶”。

这里求和项是用OR运算定义的，乘积项是用and运算定义的。当两个或多个和项乘以一个布尔or运算时，结果输出表达式将是和的乘积形式或POS形式。

和的乘积形式也被称为连接范式，因为和的项是和在一起，连接运算是逻辑与。和的乘积形式也被称为标准POS。

例子

(a + b) * (a + b + c) * (c + d)

(a + b)̅* (c + d + e̅)

POS表可以通过

• 为每个输入组合写一个OR项，产生LOW输出。
• 如果值为0，则写入输入变量，如果值为1，则写入变量的补。
• 和OR项得到输出函数。

例:多数函数F = (A + B + C) (A + B + C ') (A + B ' + C) (A ' + B + C)的布尔表达式

现在写出输入变量与高输出的组合。F = ab + BC + ac。

检查

根据幂等律，我们知道

[(A + B + C) (A + B + C)] (A + B + C) = ((A + B + C)) (A + B + C) = (A + B + C)

现在的函数

F = (a + b) (b + c) (a + c)

= (A + B + C) (A + B + C”)(A + B + C) (A + B + C)

= [(A + B + C) (A + B + C)] (A + B + C) (A + B + C”)(A + B + C) (A + B + C)

= [(A + B + C) (A + B + C”)][(A + B + C) (A + B + C)) ((A + B + C) (A + B + C)]

= [(A + B) + (C * C ')) ((B + C) + (*)) ((A + C) + (B * B”)

= [(A + B) + 0] [(B + C) + 0] [(A + C) + 0) = (A + B) (B + C) (A + C)

标准表格(标准SOP及POS表格)

任何布尔函数，如果表示为minterms的和或max terms的乘积，就称其为“规范形式”。

它主要涉及两个布尔术语，“minterms”和“maxterms”。

当一个布尔表达式的SOP形式是标准形式时，它的每一个积项称为“minterm”。因此，乘积函数的和的标准形式也被称为" minterm标准形式"或" sum -of-minterm "或标准规范SOP形式。

类似地，当一个布尔表达式的POS形式是标准形式时，那么它的每一个和项都称为“maxterm”。因此，和的乘积函数的规范形式又称为“最大项规范形式”或“和的乘积”或标准规范POS形式。

最小条件

最小项定义为n个变量的积项，其中n个变量中的每一个都将以补项或非补项的形式出现一次。最小项表示为mi，其中i在0≤i < 2ⁿ的范围内。

如果变量的值被赋值为0，则该变量为补形式;如果变量的值被赋值为1，则该变量为非补形式。

对于2变量(x和y)布尔函数，可能的minterms为:

X ' y '， X ' y, xy '和xy。

对于3变量(x, y和z)布尔函数，可能的minterms为:

x x没有'z’,没有'z x 'yz’,x 'yz, xy 'z、xy 'z xyz, xyz。

• 1 - Minterms = Minterms，其中函数F = 1。
• 0 - Minterms = Minterms，其中函数F = 0。

任何布尔函数都可以表示为其1- min项的和(或)。方程的表达式是

• F(变量列表)= Σ(1分钟term index列表)

算式:F (x, y, z) = Σ (3,5,6,7)

函数的逆可以表示为其0- min项的和(或)。方程的表达式是

• F(变量列表)= Σ(0-min term index列表)

式:F ' (x, y, z) = Σ (0,1,2,4)

乘积和表达式的标准形式示例(最小项标准形式):

i) Z = XY + XZ '

ii) F = XYZ ' + X ' yz + X ' yz ' + XY ' z + XYZ

在标准SOP形式中，n个变量的最大可能积项由2ⁿ给出。对于两个变量的方程，乘积项是22 = 4。同样，对于3变量方程，乘积项为23 = 8。

马克斯条款

最大项定义为n个变量的乘积，在0≤i < 2ⁿ的范围内。max项表示为Mi。在max项中，如果每个变量的值被赋值为1，则其值被赋值为0，则每个变量都是不被赋值的。

对于2变量(x和y)布尔函数，可能的最大值项为:

X + y, X + y '， X ' + y和X ' + y '。

对于3变量(x, y和z)布尔函数，可能的最大项为:

x + y + z、x + y + z, x + y + z、x + y + z, x的+ y + z、x + y + z’,x + y + z和x + y + z。

• 1 -最大项=函数F = 1的最大项。
• 0 - max项=函数F = 0的最大项。

任何布尔函数都可以表示为其0 - max项的乘积(AND)。方程的表达式是

• F(变量列表)= Π (0-max项索引列表)

算式:F (x, y, z) = Π (0,1,2,4)

函数的逆可以表示为其1 - max项的乘积(AND)。方程的表达式是

• F(变量列表)= Π (1-max项索引列表)

式:F ' (x, y, z) = Π (3,5,6,7)

和积表达式的标准形式示例(最大术语标准形式):

i. Z = (X + Y) (X + Y ')

2F = (x ' + y + z ') (x ' + y + z) (x ' + y ' + z ')

在标准POS形式中，n个变量的最大可能和项由2ⁿ给出。对于两个变量方程，和项是22 = 4。同样，对于3变量方程，和项为23 = 8。

2n个最小项和2n个最大项

下表将使您了解3个变量的均值项和最大值项的表示。

规范形式的转换

我们可以用另一种标准形式表示一个标准形式的方程，即用POS形式表示方程的SOP形式，用SOP形式表示POS形式的方程。为了转换规范方程，我们在列出方程的索引号之后交换Σ和Π符号，这些索引号从方程的原始形式中排除。

关于布尔函数，重要的是要记住，SOP和POS形式彼此是对偶的。转换方程的标准形式需要遵循两个步骤。他们是

第一步:交换方程中的运算符号Σ和Π。

第二步:将德摩根对偶原理应用到布尔函数的索引上，或写出没有在给定形式的方程中出现的项的索引。

SOP形式到POS形式的转换

要将SOP形式转换为POS形式，首先应该将Σ更改为Π，然后编写给定布尔函数中缺失变量的数值索引。

例子:

SOP函数

F =∑A, B, C (0,2,3,5,7) = A ' B ' C ' + AB ' C ' + AB ' C + ABC ' + ABC是由

步骤1:将操作符号更改为Π

步骤2:编写术语001、100和110缺少的索引。现在写出这些标记项的和式。

001 = 100 = (A + B + C) (A + B + C) 110 = (A + B + C)

把新方程写成POS形式，

F =ΠA, B, C (1, 4, 6) = (A + B + C) * (A + B + C) * (A + B + C)

POS表到SOP表的转换

要将POS形式转换为SOP形式，首先应该将Π更改为Σ，然后编写给定布尔函数中缺失变量的数值索引。

例:POS函数F = Π A, B, C (2,3,5) = AB ' C ' + AB ' C + ABC '是由

步骤1:将操作符号更改为Σ

步骤2:写入项000、001、100、110和111缺少的索引。现在写出这些已知术语的乘积形式。

000 = a ' * b ' * c ' 001 = a ' * b ' * c 100 = a * b ' * c '

110 = a * b * c ' 111 = a * b * c

把新方程写成SOP的形式，

F =ΣA, B, C(0、1、4、6、7)= (A * B的* C ') + (A * B的* C) + (A * B * C) + (A * B * C”)+ (A * B * C)

SOP形式转换为标准SOP形式或规范SOP形式

我们可以在SOP形式方程的每个积项中包含所有的变量，但通过转换成标准SOP形式，它并没有所有的变量。通过使用布尔代数定律(A + A ' = 1)并遵循以下步骤，可以将标准SOP形式函数转换为标准SOP形式。

步骤1:

通过将每个非标产品项与其缺失变量及其补项的和相乘，得到两个产品项

步骤2:

通过重复步骤1，直到所有结果的乘积项包含所有变量

通过这两个步骤，我们可以将SOP函数转化为标准的SOP函数。在这个过程中，对于函数中每一个缺失的变量，乘积项的数量将翻倍。

例子:

转换非标准SOP函数F = x y + x z + y z

索尔:

F = x y + x z + y z

= x y (z + z ') + x (y + y ') z + (x + x ') y z

= x y z + x y z ' + x y z + x y ' z + x y z + x y z + x ' y z

= x y z + x y z ' + x y ' z + x ' y z

标准的SOP形式是F = x y z + x y z ' + x y ' z + x ' y z

将POS形式转换为标准POS形式或规范POS形式

我们可以在POS形式方程的每个积项中包含所有的变量，通过转换成标准POS形式，它没有所有的变量。通过使用布尔代数定律(A * A ' = 0)并遵循以下步骤，可以将普通POS形式函数转换为标准POS形式。

步骤1:

通过将每个非标求和项与其缺失变量及其补项的乘积相加，得到两个求和项

步骤2:

应用布尔代数定律，A + BC = (A + B) * (A + C)

步骤3:

通过重复步骤1，直到所有结果和项包含所有变量

通过这三个步骤，我们可以将POS函数转换为标准POS函数。

例子:

F = (A + B + C) * (B + C + D) * (A + B + D ' + C”)

在第一项中，变量D或D '缺失了，所以我们加上D*D ' = 1。然后

(' + B + C + D * D ') = (A + B + C + D) * (' + B + C + D ')

类似地，在第二项中，变量A或A '缺失了，所以我们加上A*A ' = 1。然后

(B + C + D + *”)= (A + B + C + D) * (' + B + C + D ')

第三项已经是标准形式了，因为它有所有的变量。函数的标准POS形式方程是

F = (A + B + C + D) * (A + B + C + D) * (A + B + C + D) * (' + B + C + D ') * (A + B + D ' + C”)